工程流体力学笔记

据说很难，不过我感觉还好。巩固了下线性代数和材料力学的一些知识。其中的一些公式用来做动画很有意思。

流体基本概念

牛顿粘性定律

对牛顿流体：

$$F=\mu A\frac{du}{dy}\\ \tau =\mu\frac{du}{dy}$$

其中：$\tau$ 为剪应力，$\mu$ 为粘度，$du/dy$ 为速度梯度

工程中，粘度还会有其他表示形式，例如：

• 运动粘度：$\nu=\mu/\rho$ ，常见单位 $mm^2/s$ (里斯)
• 相对粘度：这个在测量粘性时会用到

流体可压缩性

一定温度 T 下，单位压强升高引起的体积变化率

$$\kappa=-\frac{\delta V/V}{\delta P},K=\frac 1\kappa$$

​ 其中：$\kappa$ 为压缩系数，$K$ 为压缩模量。$K\uparrow$ ，可压缩性 $\downarrow$

流体静力学

液体静压强

当流体处于静止或相对静止状态时，内法线表面力为压强。

• 在静止的流体中，流体静压强的方向沿着作用面的内法线方向（无切向压强）

• 静止流体任意一点流体静压强大小与作用面在空间方位无关，是点坐标的可微函数（只与坐标有关）

  $p_x=p_y=p_z=p_n$

欧拉流体静力平衡方程

质量力 与 压力分布 的关系

$$\vec{f}=\frac1\rho \nabla p$$

​ 其中：$\nabla =\frac{\partial}{\partial x}\vec i+\frac{\partial}{\partial y}\vec j+\frac{\partial}{\partial z}\vec k$

• 物理意义：在静止流体内一点，单位质量力与流体静压力合力平衡

• 欧拉平衡方程对任意种类平衡流体适用

• 静力平衡全微分方程：$dp=\rho(f_xdx+f_ydy+f_zdz)$

  也叫做压强差公式，表明静压强的增量取决于单位质量力和坐标增量

• 等压面：$dp=0\Rightarrow\vec f·dr=0$，等压面上，任意一点方向与质量力方向相同，即质量力与等压面垂直

流体静力学基本方程

$$z_1+\frac{p_1}{\rho g}=z_2+\frac{p_2}{\rho g}$$

• 适用于重力作用下的不可压缩流体
• 在重力作用下的不可压缩流体，单位质量流体的总势能保持不变

有自由液面的静止液体压强公式

$$p=p_0+\rho gh$$

​ 其中：$p_0$ 为自由液面压强，$\rho gh$ 为液体重力引起压强

• 自由液面压强可沿流体各个方向等值传递

液体相对平衡

容器匀加速运动

• 容器内任意一点压强： $p(y,z)=p_0-\rho g(ay+gz)$
• 等压面：$ay+gz=0$
• A压强：$p_A=\rho gh$

容器匀加速运动

• 容器内任意一点压强： $p(y,z)=p_0+\rho g(\omega^2r^2/2g-z)$
• 等压面：$z=\omega^2r^2/2g$
• A压强：$p_A=\rho gh$

液体对壁面作用力

平面

$$F_P=\rho gh_CA$$

• $h_C$：平面形心淹没高度；$A$：平面面积
• 液体作用在平面上的力等于：以 平面为底、以平面形心淹没深度为高的柱体内液体体积
• 方向：垂直于平面
• 作用点：$y_D=y_C+I_{Cx}/{y_CA}$
  • 利用力矩等效+平行移轴定理求解得到
  • 作用点又称为压力中心，总是作用在形心下方

曲面

$$F_{PH}=\rho gh_{Cx}A_x\\ F_{PV}=\rho gV_P$$

• $A_x$：曲面在水平方向上的投影面积；$V_P$：压力体体积
• 静止液体在曲面总压力
  • 水平分力 = 液体作用在曲面投影面积 $Ax$ 上压力，作用点为其压力中心
  • 竖直分力 = 曲面上压力体体积，作用线通过压力体的中心

浮力

$$F_P=\rho gV$$

​ 其中：V为排开水的体积

流体运动学

质点导数

质点的导数对时间的变化量，物理量 $B(x,y,z,t)$ 的质点导数定义为

$$\frac{DB}{Dt}=\frac{\partial B}{\partial t}+\frac{\partial B}{\partial x}u+\frac{\partial B}{\partial y}v+\frac{\partial B}{\partial z}w$$

迹线方程

$$\frac{dx}{u(x,y,z,t)}=\frac{dy}{v(x,y,z,t)}=\frac{dz}{w(x,y,z,t)}=dt$$

流线方程

$$\frac{dx}{u(x,y,z,t)}=\frac{dy}{v(x,y,z,t)}=\frac{dz}{w(x,y,z,t)}$$

流体动力学

雷诺输运方程

控制体：在流场中人为选取的空间几何体系。

在欧拉法中，系统的流量与控制体中的流量是不一样的，雷诺输运方程就是将系统与控制体联系起来的方程

在流场中取控制体 $CV$，其表面为控制面 $CS$ ，对于物理量 $N$ ，有

$$\frac{dN_{sys}}{dt}=\frac{\partial N_{CV}}{\partial t}+\int_{CS} \eta\rho(\vec v·\vec n)dA=\frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\eta\rho dV+\int_{CS}\eta\rho(\vec v·\vec n)dA$$

​ 其中：$\eta=N/m$

连续性方程

令 $N=m,\eta=1$ ，由 质量守恒定理

$$\frac{dm_{sys}}{dt}=\frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho dV+\int_{CS}\rho(\vec v·\vec n)dA=0$$

对定常流动，$dN/dt=0$

$$\frac {dm_{sys}}{dt}=\int_{CS}\rho(\vec v·\vec n)dA=0$$

对不可压缩流体

$$\int_{CS}(\vec v·\vec n)dA=0\Rightarrow\sum Q_{in}=\sum Q_{out}$$

动量方程

令 $N=m\vec v,\eta=\vec v$ ，由 动量定理

$$\frac{d(mv)_{sys}}{dt}=\frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\vec v\rho dV+\int_{CS}\vec v\rho(\vec v·\vec n)dA=\sum F$$

对定常流动，$dN/dt=0$

$$\frac {d(mv)_{sys}}{dt}=\int_{CS}\vec v\rho(\vec v·\vec n)dA=\sum F$$

对不可压缩流体

$$\int_{CS}\vec v(\vec v·\vec n)dA=\sum F\Rightarrow\sum\limits_{out}m\vec v-\sum\limits_{in}m\vec v=\sum F$$

动量矩定理

同理

$$\sum\limits_{out}\rho Q_{out}(\vec v·\vec r)-\sum\limits_{in}\rho Q_{in}(\vec v·\vec r)=\sum T$$

量纲分析&相似理论

相似理论

步骤：

1. 列举出所有相关的物理量，组成关系式
2. 选择包含不同基本量纲的物理量为基本量
3. 将导出量与基本量的幂式组成 $\Pi$ 表达式，用量纲次数求解每个 $\Pi$ 表达式的指数，组成 $\Pi$ 数

例：泵的效率 $η$ 是流体密度$\rho$、转速 $n$、特征直径 $D$ 、流量 $Q$、粘度 $μ$、特征长度 $l$ 和表面粗糙度 $ε$ 等物理量的函数。取 $\rho$，$n$，$D$为基本量，试用量纲分析法推导无量纲质量能头系数效率 $η$ 的 $\Pi$ 数方程式。

解：

1. 列出物理量：$η=f(\rho,n,D,Q,\mu,l,\varepsilon)$

2. 求 $η$ 的 $\Pi$ 数

   $\Pi_1=\rho^an^bD^cη\Rightarrow M^0L^0T^0=(ML^{-3})^a(T^{-1})^b(L)^c1\Rightarrow a=0,b=0,c=0\Rightarrow\Pi_1=\eta$

3. 求 $Q$ 的 $\Pi$ 数

   $\Pi_2=\rho^an^bD^cQ\Rightarrow M^0L^0T^0=(ML^{-3})^a(T^{-1})^b(L)^c(L^3T^{-1})\Rightarrow a=0,b=-1,c=-3\Rightarrow\Pi_2=Q/(nD^3)$

4. 求 $\mu$ 的 $\Pi$ 数

   $\Pi_3=\rho^an^bD^cη\Rightarrow M^0L^0T^0=(ML^{-3})^a(T^{-1})^b(L)^c(ML^{-1}T^{-1})\Rightarrow a=-1,b=-1,c=-2\Rightarrow\Pi_3=\mu/(\rho nD^2)$

5. 求 $l$ 的 $\Pi$ 数

   $\Pi_4=\rho^an^bD^cη\Rightarrow M^0L^0T^0=(ML^{-3})^a(T^{-1})^b(L)^c(L)\Rightarrow a=0,b=0,c=-1\Rightarrow \Pi_4=l/D$

6. 求 $\varepsilon$ 的 $\Pi$ 数

   $\Pi_5=\rho^an^bD^cη\Rightarrow M^0L^0T^0=(ML^{-3})^a(T^{-1})^b(L)^c1\Rightarrow a=0,b=0,c=-1\Rightarrow \Pi_4=\varepsilon/D$

7. 列表达式

   $\Pi_1=f(\Pi_2,\Pi_3,\Pi_4,\Pi_5)\Rightarrow\eta=f(Q/(nD^3),\mu/(\rho nD^2),l/D,\varepsilon/D)$

常见的相似准则

流体力学常用的相似准则包含：密度 $\rho$ 、速度 $v$ 、粘度 $\mu$ 、重力加速度 $g$ 、压强差 $\Delta p$ 、外力 $F$

• 粘性力相似 $$Re=\frac{\rho vl}{\mu}$$

适用于有压管流、射流、绕流、流体机械中的流动

• 重力相似

$$Fr=\frac{v}{\sqrt{gh}}$$

Fr 表示迁移惯性力与重力之比，反应重力对流体影响的相对重要性，是描述有自由液面的流体流动时最重要的参数

• 压力相似

$$Eu=\frac{\Delta p}{\rho v^2}$$

• 外力相似

$$Ne=\frac{F}{\rho v^2l^2}$$

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